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地震信号的频谱分析方法

检测仪

来源:检测仪 点击数:4251次 更新时间:2015-1-22 14:25:39
诊断名称:地震信号的频谱分析方法
备注信息:

 地震信号的频谱分析是地震勘探中一个十分重要的概念。频谱理论是以下各章经常用到的分析问题的工具。
    因此,这一章内容是学习本书后面各章,以及学习地震仪器和地震资料数字处理方法的重要基础知识。

    有关频谱分析的数学工具-付立叶(Fourier)分析在工程数学课中已学习过,信号的频谱分析理论也要在信号分析课中系统学习。
    所谓频谱分析,也就是利用付立叶方法来对振动信号进行分解并进而对它进行研究和处理的一种过程。

    研究结果表明:只要简谐分量足够多而它们的参数又选得合适,就几乎能够合成任意所需要的振动。图2-1-2就是一个实例。
    数学上已证明,所有复杂的振动都可由不同频率、振幅和不同初相位的简谐波合成。

    什么样的振动才能分解,什么样的振动又不能分解呢?
    这在数学上已经确立了确切的条件,这就是所谓的“狄利克莱(Dirichlet)条件”。能满足这种条件的函数所表示的一切振动,都可以分成许多简谐分量,或者说都可以进行“付立叶”展开。

 我们知道同一个谐振动,可以用形式不同的函数来表示。例如,可以写成
          u=Acos(ωt+α)    (2-1-2) 这里A是振幅,ω是圆频率,α是初相位。
如果按三角学公式将上式展开,又可以写成

函数u(t)的频谱用图表形式表示,可以画出u(t)的“振幅谱”和“相位谱” 如图2-1-5所示 。

 图2-1-7(b)是一个非周期振动和组成它的一些简谐分量;图2-1-7(a)是它的振幅谱和相位谱。

       还需要指出,在数学上一个复杂函数可以展开为付立叶级数或付立叶积分,从本质上说是展开为某种正交函数系。
       但正交函数系并不是只有三角函数系这一种,还有许多别的函数系也具有正交性,如勒让德(Legendre)多项式、契贝谢夫多项式、沃希(WaIsh)函数等等。所以一个复杂的函数除了用三角函数系展开外还可以用别的正交函数系来展开。

 u(t)和S(ω)是一一对应的。给定了u(t),只能求出一种展式,而不可能求出互不相等的两种展式。
反过来,给了一个展式,也只能定出一种u(t),而不可能得到两个不同的u(t)。用符号表示出来就是: 
        u(t)←→S(ω)    (2-2-1)

在理论上和实用上都是很重要的。

设有N个函数 
       u1(t),u2(t),…,uN(t)
以及N个常数(可以是实数,也可以是复数) :
       a1,a2,…,aN
则有

 特例1  当a1=a2=…=aN=1时,这个定理叫做叠加定理。其意义是:合振动的频谱等于分振动频谱之和,逆定理也对。    
特例2 当N=1即只有一项时,
       a u(t)←→a S(ω)          (2-2-2)
 这定理叫做相似性定理。

时标变换定理:

时延定理:

褶积定理:

频谱资料的获得和整理

一、获得信号频谱的方法简介  
二、地震波频谱资料的计算、整理和显示中的一些问题

获得信号频谱的两种方法。
 1)信号用解析式子给出,即知道了时间函数的具体形式f(t)。这时可以用付立叶变换公式计算它的频谱。
2)已知信号的图形,但不知道具体的函数关系f(t)。

  对一个给定的波形进行频谱分析的计算方法已如上述。还要指出,当要对一道地震记录从浅层到深层的各个反射波组连续进行频谱分析时,因为预先不知道反射波出现的时间,而且又要避免把反射波漏掉,一般采用沿一个滑动时窗,按一定步长计算一道记录各段的频谱。

图2-3-1所示是一道记录的一部分,设时窗长度为100ms,步长是50ms。

实际地震道频谱
图左边是1.0~1.1s、1.3~1.4s、2.3~2.4s三个时窗的波形,右边是分别计算出的频谱。

频谱的主频和频宽:
ω0是频谱的主频。 △ω=ω2-ω1叫做频谱宽度。

 地震波频谱的特征及其应用

一、各种地震波的频谱的特征
二、野外地震仪记录频率范围的选择 
三、地震信息取样间隔选择的基本依据-取样定理 
四、假频问题

各种地震波的频谱的特征:

1)与地震勘探有关的一些波的频谱特点,总的来说如图2-4-1所示。

 2)激发条件对地震波频谱有一定的影响。
在用炸药激发,药量增大时,地震波的频谱移向低频。因此在高分辨率地震勘探中,常采用小药量多井组合激发方式。

3)不同类型的地震波的频谱也有差别。
如同一地区面波和反射波在频谱上差别也较大。

4)同一类型的地震波随着传播距离增加频谱不同。

野外地震仪记录频率范围的选择:

 野外地震仪记录频率范围应包括地震有效波的整个频率范围。
在光点记录阶段: 通频带25~60Hz。
模拟磁带记录阶段:15~210Hz左右。
数字技术阶段:3~250Hz,甚至更宽。

地震信息取样间隔选择的基本依据-取样定理

所谓数字记录是指对地震信号的波形先按一定时间间隔△t进行取样,再把这一系列的离散振幅值以某种方式记录下来。
       数字记录在数学上这可概括为:以一个函数的一系列函数值(n△t),而不是用函数的连续的图形f(t)来表示这个函数,即用序列f(n△t)来代替连续的f(t)。

取样定理:
       若信号满足这样的条件,即当频率f的绝对值大于某一固定的频率fc时,信号x(t)的频谱x(f)为0,则只需按△t≤fc/2这样的取样间隔进行取样,所得序列x(n△t)能够包含了x(t)的全部信息。

假频问题:

为了获得离散化的地震信息,要对地震波的连续波形进行离散取样,而离散取样就会产生“假频”。
     下面用几个图形定性地说明这个问题。
     设一个取样系统(如野外数字地震仪的取样保持器)的取样间隔为△t=0.005s,也可以说,它的取样频率fn是200次/s。

从上面的具体例子可以看出:
  取样频率为200次/s时,对于频率小于等于100Hz的信号,用取样值能恢复出原来的连续信号。
  即对于其频率小于等于取样频率一半的信号,取样后不会产生新的频率成分。这也就是取样定理的结论。

假频的频率f假,同取样频率f取和信号频率f信之间的关系是:

线性时不变系统的滤波方程
 
一、线性时不变系统的概念 
二、用什么概念来说明一个系统的特性
三、线性时不变系统的滤波方程

线性时不变系统的概念:

    地震勘探的野外工作和资料处理工作中很主要的内容就是对地震信息进行接收、传输和加工处理。这一过程中的许多环节都可以看成信号通过一个“系统”,受到系统的加工、处理,再输出到另一系统。

线性时不变系统是具有如下两个特点的系统:

    1)设输入x1 (t)产生的输出为x1(t),输入x2(t)产生的输出为 x’ 2(t),a,b为任意常数。如果对于输入ax1 (t)+ b x2(t)恒有输出为a x 1’(t)+b x2’(t),则称这个系统是线性的。
    2)设输入x(t)产生的输出为x’ (t),如果对于任意τ值,输入x(t+τ)所产生的输出为 x’ (t+τ),则称这个系统是时不变的。

用什么概念来说明一个系统的特性:

  频率特性和时间特性这两个概念来描述系统的性质。

1.频率特性 
      一个系统的频率特性一般是复数,记作H(jω),它又可以分别用模和幅角来表示。  
             H(jω)= |H(ω)|ejθ(ω)      (2-5-1)   
        |H(ω)|称为振幅频率特性,θ(ω)称为相位频率特性。

 2.时间特性    
       时间特性系统对一个短促作用(严格说就是对一个δ(t)的反应,用h(t)来表示。
       获得一个系统的h(t),较方便的做法也是实际测定,即给系统输入一个很短的尖脉冲,观测输出信号的图形。

8个具有不同通频带的模拟滤波器的时间特性:

雷克子波通过两个时间特性不同的滤波器时的输出。

3.频率特性与时间特性的关系        
系统的频率特性H(jω)同时间特性h(t)是互为付氏变换的。

线性时不变系统的滤波方程:

       滤波方程是指一个系统的输入、输出、系统特性三者之间的定量关系。在频率域就是指输入信号的谱F(jω),系统的频率特性H(jω),输出信号的谱三者之间的关系。
       对一般的信号f(t)通过线性时不变系统的问题,可以从频谱分析观点进行讨论。显然,我们有:

线性时不变系统的滤波方程:

      应用线性滤波方程讨论地震勘探问题主要有三种具体情况:
      ①已知输入f(t)和系统特性h(t),求输出。这是滤波问题或合成地震记录问题。
      ②已知输入f(t)和输出,求系统的特性h(t)。这是系统鉴别问题。
      ③已知输出和系统特性h(t),求输入f(t)。这是信号复原问题,在地震勘探中就是子波提取问题。

频率滤波参数选择的基本原则:

频率滤波参数选择的4个基本原则。
 1)当有效波的频谱与干扰波的频谱不重叠时,滤波器频率特性中心频率应与有效波的主频相同。滤波器的通频带应与有效波的频谱宽度一致,当有效波与干扰波的频谱发生重叠时,滤波器的主频应与有效波频谱同干扰波频谱之比值zui大处的频率相同。

2) 信号的频谱宽度与信号的延续时间成反比。因此,滤波器的通频带越窄,则选择性越好;但会使信号被滤波后频带也变窄,延续时间增长,降低了分辨能力。反之,滤波器的通频带越宽。分辨能力越好,但选择性不好。
3)一般说来,从浅层到深层,反射波的主频要降低,所以对同一道,由浅到深不应采用同一种滤波特性。

4)选择频率特性的步骤,目前主要采用对原始地震记录进行频谱分析,了解干扰波和有效波的频谱特点和有效波频谱从浅到深的变化规律,作为设计滤波特性的依据。
       另外,也可以用频率扫描。

对原始资料用五种滤波档得出的滤波结果。

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